K OBJEMU A POVRCHU KOULE

Elementární odvození vzorce pro výpočet objemu koule

Pro zjednodušení výpočtu budeme místo celé koule pracovat pouze s její polovinou. Podaří-li se nám úspěšně odvodit vzorec pro výpočet objemu jedné polokoule, pak objem celé koule bude pouze dvojnásobně velký.

Pokud jsme studiem nabyli dostatku zkušeností s odvozováním vzorců pro objemy různých těles, víme, že nejčastější strategií vedoucí k cíli bylo rozdělit objekt na jednodušší geometrické útvary, jejichž objem umíme vyčíslit. Nejinak tomu bude v našem případě. Zvolme k tomu účelu rotační válec, pro jehož objem $V$ platí vzorec $V=\pi r_V^2 v$, kde $r_V$ je poloměr podstavy (index $V$ píšeme proto, abychom si později nepletli poloměr podstavy válce s poloměrem koule) a $v$ je jeho výška.

Rozdělme poloměr koule $r$ na $n$ shodných dílů ($n\in\mathbb{N},\,n> 1$). Délka jednoho dílku bude tudíž $\frac{r}{n}$. Takto dlouhá bude rovněž výška každého válce tvořícího válcovou stavbu. Z obrázku vpravo je vidět, že takových válců, kterými můžeme polokouli vyplnit, bude právě $n-1$. Tedy rozdělíme-li poloměr na $n$ stejných dílků, vepíšeme do polokoule $n-1$ válců s výškou $\frac{r}{n}$. Válcovitá stavba pak bude mít výšku $(n-1)\frac{r}{n}$.

Z obrázku je patrné, že objem polokoule bude vždy o něco větší než objem válcové stavby. K objemu polokoule se však můžeme přibližovat tím, že za $n$ budeme volit stále větší a větší přirozená čísla. Hodnota $\frac{r}{n}$ se potom bude zmenšovat. Čím bude výška každého válce menší, tím lépe bude válcová stavba kopírovat tvar polokoule, a tím se její objem přiblíží objemu této polokoule.

Naším úkolem nyní bude určit objem libovolné válcové stavby v závislosti na čísle $n$. Jak již bylo řečeno, stavba bude složena z $n-1$ rotačních válců, které všechny mají shodnou velikost výšky $v=\frac{r}{n}$. Jak je vyznačeno na obrázku, označme jednotlivé objemy těchto válců postupně $V_1,V_2,\ldots,V_{n-2},V_{n-1}$. Objem válcové stavby $V$ bude roven součtu těchto dílčích objemů.

Pro objem $k$-tého válce ($1 \leq k\leq n-1$) platí \begin{equation} V_k=\pi r_k^2 \frac{r}{n}. \label{objem_valce} \end{equation} Pro potřeby výpočtu potřebujeme vyjádřit délku poloměru podstavy $r_k$. Tu ovšem není obtížné najít se znalostí Pythagorovy věty. Trojúhelník $ST_kS_k$ je pravoúhlý. Protože délka strany $SS_k$ je $k\frac{r}{n}$, nutně pro $r_k^2$ platí $$r_k^2=r^2-\left(k\frac{r}{n}\right)^2=r^2-\frac{k^2r^2}{n^2}=r^2\left(1-\frac{k^2}{n^2}\right)=r^2\left(\frac{n^2-k^2}{n^2}\right).$$ Dosazením do předpisu \eqref{objem_valce} dostáváme $$V_k=\pi r^2\left(\frac{n^2-k^2}{n^2}\right)\frac{r}{n}=\pi r^3 \left(\frac{n^2-k^2}{n^3}\right).$$ Podařilo se nám vyjádřit velikost objemu libovolného válce válcové stavby, neboť $k$ postupně nabývá hodnot od $1$ do $n-1$. Například objemy prvního a druhého z válců jsou postupně rovny $$ V_1=\pi r^3 \left(\frac{n^2-1}{n^3}\right),\quad V_2=\pi r^3 \left(\frac{n^2-4}{n^3}\right). $$ Pokusme se nyní o vyjádření objemu celé stavby. Řekli jsme si, že tento objem je roven součtu všech dílčích objemů. Posloupností úprav postupně dostáváme \begin{align*} V &=V_1+V_2+\ldots +V_{n-2}+V_{n-1}=\\ &=\pi r^3 \left(\frac{n^2-1}{n^3}\right)+\pi r^3 \left(\frac{n^2-4}{n^3}\right) +\ldots +\pi r^3 \left(\frac{n^2-(n-2)^2}{n^3}\right)+\pi r^3 \left(\frac{n^2-(n-1)^2}{n^3}\right)=\\ &=\pi r^3\left[\left(\frac{n^2-1}{n^3}\right) +\left(\frac{n^2-4}{n^3}\right)+\ldots +\left(\frac{n^2-(n-2)^2}{n^3}\right)+ \left(\frac{n^2-(n-1)^2}{n^3}\right)\right]=\\ &=\pi r^3\left[\frac{n^2+n^2+\ldots +n^2+n^2-\left(1+4+\ldots +(n-2)^2+(n-1)^2\right)}{n^3}\right] \end{align*} V čitateli máme výrazy $n^2+n^2+\ldots+n^2+n^2$ a $1+4+\ldots +(n-2)^2+(n-1)^2$. První z nich je jednoduchý. Každý válec přispěje jednou členem $n^2$, což znamená, že součet prvního výrazu bude $n^2(n-1)$. Druhý výraz vyjadřuje součet prvních $n-1$ druhých mocnin přirozených čísel. Existuje vztah, díky kterému můžeme pro druhý z výrazů psát $$1^2+2^2+3^2+\ldots +(n-2)^2+(n-1)^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}.$$ Díky znalosti součtů dvou zmíněných výrazů můžeme dále postupovat ve výpočtu objemu válcové stavby. Postupně dostáváme \begin{align*} V &=\pi r^3\left[\frac{n^2(n-1)-\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}}{n^3}\right]=\pi r^3\left[\frac{\frac{6n^2(n-1)-n(n-1)(2n-1)}{6}}{n^3}\right]=\\ &=\pi r^3\left[\frac{n(n-1)(6n-2n+1)}{6n^3}\right]=\pi r^3\frac{(n-1)(4n+1)}{6n^2}. \end{align*} Pro velikost objemu válcové stavby jsme nalezli vztah $$V=\pi r^3\frac{(n-1)(4n+1)}{6n^2}.$$ S rostoucím $n$ se bude objem válcové stavby blížit k objemu polokoule. To znamená, že k hodnotě objemu koule se postupně bude blížit výraz $$2V=2\pi r^3\frac{(n-1)(4n+1)}{6n^2}=\pi r^3\frac{(n-1)(4n+1)}{3n^2}.$$ Odtud je zřejmé, že vzorec pro objem koule nutně musí být ve tvaru $V=K\pi r^3$, kde $K$ je reálná konstanta, ke které se můžeme přiblížit dosazováním větších a větších $n$ do výrazu $$K_n=\frac{(n-1)(4n+1)}{3n^2}.$$ V následující tabulce je zachycena závislost konstanty $K_n$ na velikosti čísla $n$. Výpočet byl proveden za použití tabulkového procesoru s přesností na $15$ desetinných míst. $$ \begin{array}{rl} \hline n\qquad\qquad\quad & \qquad\qquad K_n\\ \hline 10 &1,23000000000000\\ 100 &1,32330000000000\\ 1\;000 &1,33233300000000\\ 10\;000 &1,33323333000000\\ 100\;000 &1,33332333330000\\ 1\;000\;000 &1,33333233333300\\ 10\;000\;000 &1,33333323333333\\ 100\;000\;000 &1,33333332333333\\ 1\;000\;000\;000 &1,33333333233333\\ 10\;000\;000\;000 &1,33333333323333\\ 100\;000\;000\;000 &1,33333333332333\\ 1\;000\;000\;000\;000 &1,33333333333233\\ 10\;000\;000\;000\;000 &1,33333333333323\\ 100\;000\;000\;000\;000 &1,33333333333332\\ 1000\;000\;000\;000\;000 &1,33333333333333\\ 10\;000\;000\;000\;000\;000 &1,33333333333333\\ 100\;000\;000\;000\;000\;000 &1,33333333333333\\ \hline \end{array} $$ Z tabulky lze poměrně intuitivně odhadnout, že s rostoucím $n$ se členy posloupnosti $K_n$ blíží k hodnotě $1,\overline{3}$, což lze zlomkem zapsat ve tvaru $\frac{4}{3}$. Dokázat, že hodnota konstanty $K$ jsou ony $\frac{4}{3}$, vyžaduje obtížnější matematické koncepce, kterými se nyní zabývat nebudeme. Zůsaneme tudíž u intuitivní představy určitého procesu přibližování. Odvodili jsme tak vzorec pro objem koule o poloměru $r$, který má tvar $$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$$

Poznámka. Pro vážné zájemce je mou milou povinností doplnit, že to, co jsme nyní odhadli (tj. hodnotu konstanty $K$), bylo intuitivní provedení výpočtu limity posloupnosti $\left(K_n\right)_{n=1}^\infty$ pro $n$ jdoucí k nekonečnu. Formálně tento příklad řešíme následujícím způsobem $$\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)(4n+1)}{3n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2-3n-1}{3n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\left(4-\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}{3n^2}=\frac{4}{3}.$$ Blíže o této problematice viz seznam doporučené literatury v sekci Výuka.

Elementární odvození vzorce pro výpočet povrchu koule

Situace se nám do značné míry zjednodušuje tím, že známe vzorec pro výpočet objemu koule. Využijme tudíž znalosti objemu k výpočtu povrchu koule. Ale jak? Uskutečněme následující myšlenkový experiment.

Mějme kouli o poloměru $r$ a nafoukněme ji ve všech směrech o nepatrný rozměr, jenž označme $\Delta r$. Dostaneme dvě soustředné koule, které mezi sebou vytyčují prostor, jehož objem je roven rozdílu objemů větší a menší koule. Představme si dále, že tento prostor je naplněn kupříkladu tekutinou, kterou můžeme odčerpat a vylít na podložku. Podaří-li se nám dosáhnout toho že se tekutina rozlije rovnoměrně ve výšce $\Delta r$, bude louže rozprostřena na ploše, jejíž obsah bude (přibližně) roven povrchu vnitřní koule. Slovo přibližně jsme použili proto, že se nebude zcela přesně jednat o povrch menší koule, ale o povrch hypotetické koule nacházející se mezi těmito dvěma. Budeme-li však hodnotu $\Delta r$ zmenšovat dál a dál, bude se obsah rozlité plochy více a více přibližovat k povrchu menší koule.

Obsah rozlité plochy $S$ můžeme matematicky vyjádřit ve tvaru $$ S=\frac{1}{\Delta r}\left(\frac{4}{3}\pi (r+\Delta r)^3-\frac{4}{3}\pi r^3\right). $$ Po úpravě dostáváme \begin{align*} S &=\frac{4\pi}{3\Delta r}\left(r^3+3r^2\Delta r+3r(\Delta r)^2+(\Delta r)^3-r^3\right)=\frac{4\pi \Delta r}{3\Delta r}\left(3r^2+3r\Delta r +(\Delta r)^2\right)=\\ &=4\pi r^2+4\pi r\Delta r + \frac{4}{3}\pi(\Delta r)^2. \end{align*} Budeme-li se hodnotou $\Delta r$ přibližovat k číslu $0$, tedy za hodnotu $\Delta r$ budeme dosazovat čísla jako $0,1$; $0,01$; $0,001$ atd., bude se celková hodnota součtu $4\pi r\Delta r + \frac{4}{3}\pi(\Delta r)^2$ taktéž blížit k nule. Obsah plochy $S$ se bude s malými hodnotami $\Delta r$ blížit jednak k velikosti povrchu koule s poloměrem $r$ a jednak k výrazu $4\pi r^2$. Není tedy překvapující, že pro povrch koule s poloměrem $r$ platí $$S=4\pi r^2.$$

Jiným způsobem, jak odvodit vzorec pro výpočet povrchu koule, může být následující představa.

Rozřežeme kouli na segmenty jehlanovitého tvaru, jejichž společným vrcholem bude střed koule. Výška každého ze segmentů bude rovna poloměru koule. Podstavou $S_p$ bude maličký výsek povrchu koule. Zakřivení podstavy bude zanedbatelné, bude-li velikost jednoho segmentu co možná nejmenší.

Představujme si, že těchto segmentů bude právě $N$. Takové číslo $N$ bude mít takovou vlastnost, že pro každé kladné reálné číslo $a$ bude $N+a=N$. Bohužel představit si takto veliké číslo přesahuje možnosti lidského druhu, v životě se s ním nesetkáme. Nicméně nyní předpokládejme, že nějaké takové číslo $N$ opravdu existuje. Máme tedy $N$ jehlanů, jejichž celkový objem je roven objemu koule. Díky kouzelnému číslu $N$ se nemusíme starat o zakřivenou podstavu! Proto můžeme psát $$\frac{1}{3}S_{p_1}r+\frac{1}{3}S_{p_1}r+\ldots +\frac{1}{3}S_{p_N}r=\frac{1}{3}r(S_{p_1}+S_{p_2}+\ldots+S_{p_N})=\frac{4}{3}\pi r^3.$$ Ovšem součet $S_{p_1}+S_{p_2}+\ldots+S_{p_N}$ podstav jednotlivých jehlanovitých segmentů je roven povrchu koule $S$, takže \begin{align*} \frac{1}{3}rS &=\frac{4}{3}\pi r^3,\\ S &=4\pi r^2. \end{align*} Dvěma způsoby jsme tak dospěli ke stejnému vzorci pro výpočet povrchu koule.

Shrňme závěry obsažené v tomto článku do přehledného tvrzení a doplňme pro zájemce několik úloh k procvičení odvozené teorie.

Věta (O objemu a povrchu koule). Objem koule o poloměru $r$ je dán předpisem $$V=\frac{4}{3}\pi r^3.$$ Povrch koule o poloměru $r$ je dán předpisem $$S=4\pi r^2.$$

Cvičení. Kopule planetária o průměru 20 m projde v dohledné době rekonstrukcí, která bude zahrnovat pokrytí projekční plochy novými segmenty. Pro pokrytí čtverečního metru je zapotřebí 8 segmentů. Segmenty se dovážejí na paletách po 300 kusech. Kolik palet segmentů musí dodavatel objednat, jestliže předpokládaný odpad při montáži bude 5 %?

Řešení. Je třeba objednat 18 palet segmentů.

Cvičení. Neutrina jsou částice vznikající v jádru Slunce během termojaderných reakcí. Protože tyto částice lehce prostupují hmotou, je pro jejich zachycení zapotřebí speciálních neutrinových detektorů. Neutrinový detektor je nádrž ve tvaru koule, celá naplněna vodou (voda může být chemicky obohacena). Jaký je průměr detektoru SNO (Sudbury Neutrino Observatory), jestliže nádrž obsahuje 1000 tun vody?

Řešení. Průměr neutrinového detektoru je 12,4 m.

Cvičení. Neutronové hvězdy jsou pozůstatky hmotných hvězd, které svůj život zakončily jako supernovy. Jsou složené převážně z degenerovaného neutronového plynu. Přes své relativně malé rozměry jsou ohromně hmotné. Například pulsar PSR J0348+0432 má průměr 26 km a hmotnost přibližně $4\cdot 10^{30}$ kg. Vypočítejte, jakou hmotnost by měl kvádr o rozměrech kostky cukru (tj. $22\times 18\times 11$ mm) vyplněný hmotou tvořící neutronovou hvězdu.

Řešení. Kostka cukru tvořená materiálem z neutronové hvězdy by měla hmotnost $1,892\cdot 10^{12}$ kg. To jsou přibližně 2 miliardy tun.