AL CHVÁRIZMÍ: ALGEBRAICKÝ TRAKTÁT

Abstrakt. Při studiu matematiky je dobré si uvědomovat, že symbolika a formalismus, který dnes chápeme jako něco samozřejmého, procházel staletým vývojem. Následující článek je zaměřen na počátky algebry, které jsou spjaty se jménem arabského matematika al Chvárizmího, jenž působil v iráckém Bagdádu na přelomu 8. a 9. století. Jeho práce Algebraický traktát, ve kterém nás seznamuje s řešením kvadratických rovnic, výrazně ovlivnila směřování evropské vědy.

Historické pozadí a osobnost al Chvárizmího

Zabýváme-li se původem odborných termínů používaných ve všech přírodních i humanitních vědách, obvykle velice rychle nabydeme dojmu, že základem drtivé většiny těchto slov jsou buď termíny řecké, nebo termíny latinské. Nejinak je tomu v matematice, zde však existují čestné výjimky. Jednou z nich je slovo algebra.

Slovo algebra vstoupilo do evropských jazyků díky latinskému překladu jednoho z nejvlivnějších středověkých matematických spisů, Al kitáb al muchtasar fí hisáb al džebr v al muqábala, díla arabského matematika jménem Abu Abdalláh Muhammad ibn Músá al Chvárizmí al Mádžusí.

Al Chvárizmího „al džebr“ neznamená nic jiného, než převádění odečítaných výrazů z jedné strany rovnice na druhou, aby byly tyto výrazy přičítány. Dnešního významu (odvětví matematiky, zabývající se abstrakcí pojmů a vlastnostmi elementárních matematických objektů) nabylo slovo algebra až po dlouhé cestě evropskou historií, která začala latinskými překlady al Chvárizmího Algebraického traktátu od Roberta z Chesteru (z roku 1145), pořízeného v Segovii, a od Gerarda z Cremony (1114-1187), napsaného v Toledu. Vzhledem k tomu, že al Chvarízmího život obvykle limitujeme přibližnými daty 780-850, trvala cesta Algebraického traktátu do Evropy tři století.

Kdo vlastně byl Abu Abdalláh Muhammad ibn Músá al Chvárizmí al Mádžusí? O jeho životě máme jen málo zpráv, ví se jen, že pocházel z města Chvárizmu na východní hranici arabských panství své doby, a že za svého života působil v knihovně chalífy al Mamúna. O tomto faktu se zmiňuje poznámka v historické knize Muhammada b. Isháka an Nadíma z roku 987, tedy sto let po Chvárizmího smrti. Tento arabský historik zmiňuje ve své Knize seznamu několik al Chvárizmího děl; ta, která dnes považujeme za největší plody Chvárizmího geniality, Aritmetický traktátAlgebraický traktát, však v an Nadímově výčtu chybí.

Z místa, kde se narodil, soudíme, že byl snad perského původu a že těžil z mimořádně plodného intelektuálního prostředí, které na svém dvoře a ve své říši pěstoval chalíf al Mamún. Kombinace perské a řecké vzdělanosti a vlastní invence arabských vědců způsobila neuvěřitelný rozvoj přírodních věd, přesto se jen málokdo povznesl nad kulturní rozdíly mezi národy jako al Chvárizmí.

Tento arabský matematik totiž obrátil svoji zvídavost i na dosud opomíjenou Indii a introdukoval do arabské a zprostředkovaně i do evropské vědy ve svém Aritmetickém traktátu takové vymoženosti, jako poziční číselnou soustavu nebo číslo nula (resp. symbol nula, který značil, že daná pozice není obsazena).

I v Algebraickém traktátu, jehož hlavním tématem je řešení rovnic, lze snadno vypozorovat indické vlivy, obě knihy však jsou produktem vlastní práce al Chvárizmího, který je nejspíše vystavěl na své důkladné znalosti práce indických matematiků.

Jak se však mohlo stát, že Evropané al Chvárizmího spis přeložili a dále s ním pracovali, navzdory kulturní a náboženské propasti zející mezi křesťanským Západem a muslimským Východem?

Roli mostu mezi arabskou, perskou a často i řeckou vzdělaností a evropskou inteligencí hrálo dnešní Španělsko, po roce 711 dobyté Araby a po roce 1000 pomalu znovuzískávané křesťanskými španělskými panovníky (reconquista, tj. úplné znovudobytí Pyrenejského poloostrova křesťany, byla dokončena v roce 1492).

Rychlé rozšíření islámu na Blízkém východě, v severní Africe a právě do dnešního Španělska v prvních stoletích po Muhammadově smrti (tj. cca do roku 750) s sebou přineslo celou řadu problémů. Jednotné náboženství se velice rychle rozpadlo vlivem odlišného náhledu na Muhammadovo poselství, mocenských bojů, národnostních třenic a dalších vlivů a pro arabské vládce (chalífy) bylo prakticky nemožné udržet centrální moc.

Obzvláště to platilo pro muslimskou Andalusii na Pyrenejském poloostrově, nejvzdálenější od Bagdádu a nejvíce pociťující odstředivé snahy svých vládců, které nakonec vyvrcholily k ustavení samostatného panství.

Nebylo to však nutně na škodu. Ačkoli ze severu Andalusii neustále obtěžovaly snahy křesťanských vládců o znovuzískání království svých vizigótských předků, podařilo se muslimskému obyvatelstvu vyhnout se bratrovražednému boji jednotlivých frakcí na Blízkém východě. V roce 1055 byl vypleněn Bagdád a prakticky zničeno centrum arabské vzdělanosti v této části světa - v muslimské Andalusii však měli učenci zatím klid na práci.

I pyrenejské arabské panství však nakonec zasáhla vlna fundamentalismu, který se zrodil jako reakce na nejednotnost a boje o moc. V Andalusii byl navíc fundamentalismus tím větší, čím silnější byla křesťanská království na jih od Pyrenejí, a kdysi otevření a intelektuální vládci Andalusie nakonec podlehli vlně náboženského purismu.

Mohl to být úplný konec všeho, co arabští učenci během tří století zjistili. Jenže nebyl. Křesťanští vládci znovudobytých území totiž projevili nebývalou náboženskou toleranci (která ve zbytku Evropy budila daleko spíše podezřívavost než uznání) a dovolili, alespoň zpočátku, koexistenci křesťanství, islámu a judaismu ve svých královstvích.

Ti, kdo až do té doby bádali v rámci arabského světa a využívali jeho rozlehlosti a pohyblivosti zboží v jeho rámci, náhle přicházeli hromadně do Toleda a dalších měst - a nepřicházeli s prázdnou. Přicházeli s arabskými překlady starých řeckých spisů, ale i s produkty právě té arabské inteligence, kterou teď náboženský fundamentalismus hrozil zničit.

Taková byla i cesta al Chvárizmího děl. Aritmetický traktát se dokonce ani nezachoval v původní arabské verzi, pouze jako několik latinských překladů různé kvality, z nichž snad můžeme původní obsah rekonstruovat.

Naproti tomu Algebraický traktát se zachoval v původním znění; jeho význam byl navíc překladatelům od počátku jasný a již jeho první překlady jsou dostatečně srozumitelné (na rozdíl od prvního překladu Aritmetického traktátu).

Algebraický traktát

Klíčovým tématem této knihy je řešení kvadratických rovnic. V celém Algebraickém traktátu al Chvárizmí nejspíše předpokládá předchozí znalosti aritmetiky tak, jak je uvedl ve své dřívější práci.

Po úvodní části, kde al Chvárizmí uvádí důvody, jež ho vedly k sepsání této knihy, je čtenář seznámen s základními pojmy, které bude při řešení kvadratických rovnic potřebovat, tj. kořen, kvadrát a obyčejné číslo. Celá první část knihy je pak věnována vztahům, jež mohou nastat mezi těmito třemi prvky rovnice (tj., v dnešní symbolice, mezi $x, x^2$ a číslem), a geometrickým demonstracím uvedených vztahů.

Kvadratické rovnice rozděluje do šesti kategorií (v knize jde o prvních šest oddílů), které lze s použitím dnešní symboliky popsat následovně $(p,k\in\mathbb{N})$:

  • Oddíl první $(x^2=kx)$. „Co se týče kvadrátů rovných kořenům; to pokud například řekneš: Kvadrát je roven pěti svým kořenům, potom je kořen kvadrátu pět a kvadrát dvacet pět, což je rovno pěti jeho kořenům.“
  • Oddíl druhý $(x^2=k)$. „Pokud řekneš: pět kvadrátů je rovno osmdesáti, potom jeden kvadrát je roven pětině z osmdesáti, tedy šestnácti a jeho kořen čtyřem. (...) A tímto způsobem se všechny kvadráty s přebytkem či nedostatkem převedou na jeden kvadrát...“
  • Oddíl třetí $(x=k)$. „Pokud řekneš: Čtyři kořeny jsou rovny dvaceti, potom jeden kořen je pět a jeho kvadrát dvacet pět.“
  • Oddíl čtvrtý $(x^2+px=k)$. „Co se týče kvadrátů a kořenů rovných číslu; to pokud například řekneš: Kvadrát a deset jeho kořenů je rovno třiceti devíti dirhemům, to znamená, jestliže přidáš k některému kvadrátu to, co je rovno deseti kořenům, obdržíš třicet devět.“
  • Oddíl pátý $(x^2+k=px)$. „Co se týče kvadrátů a čísel rovných kořenům; to pokud například řekneš: Kvadrát a číslo dvacet jeden dirhem je rovno deseti jeho kořenům, což značí: Když přidáš ke kvadrátu dvacet jeden dirhem, obdržíš deset kořenů tohoto kvadrátu.“
  • Oddíl šestý $(px+k=x^2)$. „Co se týče kořenů a čísel rovných kvadrátu; to pokud například řekneš: Tři kořeny a číslo čtyři jsou rovny kvadrátu...“

K odlišnostem, se kterými se setkáme při řešení prvního případu dnešními prostředky oproti řešení al Chvárizmího, se blíže vyjádříme u níže uvedeného konkrétního příkladu.

Zajímavé je, že u třetího typu al Chvárizmí píše: „Co se týče kořenů rovných číslu; pokud řekneš: kořen je roven číslu tři, potom kořen je číslo tři a jeho kvadrát devět.“ Důsledně zde tedy uvádí všechny prvky, které v úvodu popsal jako vyskytující se v kvadratických rovnicích, i když pro řešení příkladu nebyla druhá mocnina zapotřebí.

V další části al Chvárizmí explicitně komentuje postup, jak násobit celou rovnici tak, že násobíme obě její strany a jak převádět z jedné strany na druhou, opět pak svá tvrzení geometricky interpretuje.

Vzhledem k tomu, že al Chvárizmí nepoužíval a ani neznal algebraickou symboliku tak, jak je praktikována dnes, jsou veškeré situace uvedeny slovně, pomocí poměrně složitých vět. Je nepochybné, že orientace v takovém textu není nijak jednoduchá. Geometrická interpretace uvedených tvrzení se pak stává nutností k jejich pochopení, u složitějších důkazů je však již i geometrie jen málo srozumitelná.

Přítomnost matematických důkazů, navíc v geometrické formě, přímo odkazuje na vliv řecké matematiky Eukleidových Základů. Přímo z Eukleidovy dvanácté knihy pak al Chvárizmí převzal následující větu, v tzv. Oddíle o měření: „Co se týče jehlanu trojúhelného, čtvercového a kruhového, mají tu vlastnost, že součin třetiny plochy jejich podstavy s výškou je objem.“

Celou knihu ukončují praktické příklady řešené pomocí dříve vysvětlených vlastností rovnic. Abychom demonstrovali, jak obtížné je byť jen porozumět zadání, natož úlohu vyřešit, rozhodl jsem se konfrontovat úryvek z al Chvárizmího knihy s příkladem tak, jak by byl s pomocí dnešního formalismu řešen.


Příklad. „Řeknou-li ti: rozdělil jsi deset na dvě části, vynásobil jsi jednu z částí druhou a dále jsi vynásobil jednu z nich samu sebou, potom tento součin sama se sebou se stal rovným čtyřnásobku součinu obou částí.“

Jmenované části označme postupně $x_1$ a $x_2$. Ze zadání plyne, že $x_1+x_2=10$. Další část zadání příkladu odpovídá zápisu $x_1^2=4x_1x_2$, kde jsme si za uvažovanou část zvolili konkrétní část $x_1$. V knize se tedy zabýváme řešením soustavy lineární a kvadratické rovnice ve tvaru \begin{align*} 10 & = x_1 + x_2 \\ x_1^2 & = 4 x_1x_2. \end{align*}

Al Chvárizmí říká: „Pravidlo je následující: Vezmi jednu z částí jako věc, potom druhá je deset bez věci.“ Tím nám dává pokyn vyjádřit z lineární rovnice neznámou $x_2$ jako $x_2=10-x_1$. Pokračuje: „Vynásob věc krát deset bez věci, obdržíš deset věcí bez kvadrátu.“ Následujme jeho rady a počítejme $x_1(10-x_1)=10x_1-x_1^2$. Na tomto místě si všímejme toho, že al Chvárizmí řeší tuto soustavu dosazovací metodou, tedy tak, jak se to učí studenti na středních školách.

„Dále to násob čtyřmi, jak ti bylo řečeno: Čtyřikrát. Obdržíš čtyři násobky jedné části s druhou, tj. čtyřicet věcí bez čtyř kvadrátů.“ To znamená $$4x_1x_2=4(10x_1-x_1^2)=40x_1-4x_1^2.$$

„Potom násob věc věcí, to je jednu část samu sebou. Obdržíš: Kvadrát je roven čtyřiceti věcem bez čtyř kvadrátů.“ Neboli $$x_1^2=40x_1-4x_1^2.$$ V dalším popisu následuje převedení kvadratické rovnice do tvaru uvedeném v prvním oddílu. „Doplň to čtyřmi kvadráty a přičti je ke kvadrátu. Obdržíš: Čtyřicet věcí je rovno pěti kvadrátům ($40x_1=5x_1^2$). Proto je jeden kvadrát roven osmi kořenům ($x_1^2=8x_1$), to je šedesát čtyři. Jeho kořen je osm ($x_1=8$). To je jedna z částí vynásobená sama sebou. Zbytek do deseti je druhá část ($x_2=10-x_1=10-8=2$). Tato úloha tě přivedla k jednomu z šesti oddílů, jmenovitě: Kvadráty rovné kořenům. Věz to.“

Podobnou formou jsou řešeny všechny úlohy Algebraického traktátu. Ještě si všimněme, že al Chvárizmí nepovažuje (a v kontextu doby ani nemohl považovat) za další řešení kvadratické rovnice $x_1^2=8x_1$ nulu. A tedy dvojici $[0,10]$ jako druhé z řešení původní soustavy. Všechny výsledky a postupy jsou také geometricky interpretovatelné na rozdíl od situace, kdy by al Chvárizmí například připouštěl záporné kořeny rovnic.

Nadvláda řeckého myšlení přivedla arabskou a následně i evropskou vzdělanost do paradoxní situace; zatímco indický matematik Brahmagupta století před al Chvárizmím vyslovil obecné řešení kvadratické rovnice (odstraněním středního členu), běžně uvažoval se zápornými čísly a nulu bral jako jednoho ze zástupců reálných čísel, provázanost Řeky ovlivněné matematiky více na Západ s geometrií toto znemožnila.

Byly to však al Chvárizmího spisy, co začalo velké budování evropské algebry. Zatímco vývoj indické matematiky čísel se zastavil, evropští matematikové stavěli na Algebraickém traktátu matematiku tak, jak ji dnes známe, a fakt, že při tom museli objevovat již objevené, jejich zásluhy nijak nesnižuje.


© Michal Řepík